Les symétries : axiale (miroir) et centrale (demi-tour)

Imagine que tu poses un miroir bien droit sur ta feuille. Tout ce qui est à gauche du miroir apparaît à droite, à la même distance. Si ta main est à 3 cm du miroir, son reflet est aussi à 3 cm, juste de l'autre côté. La symétrie axiale, c'est exactement ça : la droite joue le rôle du miroir. On l'appelle l'**axe** de symétrie. Le reflet d'un point s'appelle son **symétrique**.

**Définition rigoureuse.** Soit une droite *d* (l'axe). Le **symétrique** d'un point M par rapport à *d* est le point M' tel que la droite *d* est la **médiatrice** du segment [MM'].

- **Médiatrice** = la droite qui coupe un segment en son **milieu** ET **perpendiculairement** (à angle droit, 90°).

Donc la symétrie axiale impose DEUX choses en même temps :

1) M et M' sont à la **même distance** de l'axe (l'axe passe au milieu de [MM']) ;

2) le segment [MM'] est **perpendiculaire** à l'axe.

Cas particulier important : si M est déjà **sur** l'axe, alors M' = M (le point est son propre symétrique).

**À quoi ça sert ?** À reconnaître les figures « équilibrées » (un papillon, la lettre A, un cœur), à construire des dessins réguliers, et c'est la base de notions plus avancées (réflexions, isométries).

Dans un repère, on prend l'axe = l'axe des abscisses (la droite horizontale Ox) et le point M(4 ; 3). Cherchons son symétrique M'.

- **Étape 1.** L'axe Ox est horizontal. Le segment [MM'] doit lui être perpendiculaire, donc **vertical** : M et M' ont la **même abscisse** x = 4. (Pourquoi ? Parce que perpendiculaire à une droite horizontale = droite verticale.)

- **Étape 2.** M est à 3 unités au-dessus de l'axe (y = 3). Pour être à la même distance de l'autre côté, M' doit être à 3 unités **en dessous** : y = −3. (Pourquoi ? L'axe doit passer au milieu de [MM'].)

- **Étape 3.** Donc M'(4 ; −3). Règle générale obtenue : par rapport à Ox, (x ; y) → (x ; −y).

- **Vérification.** Milieu de [MM'] = ((4+4)/2 ; (3+(−3))/2) = (4 ; 0), qui est bien sur l'axe Ox. ✔

Quand on te demande le symétrique d'un point M par rapport à une droite *d* :

1. Repère la droite *d* (l'axe).

2. Trace, à partir de M, la perpendiculaire à *d* (le trait doit former un angle droit avec l'axe).

3. Mesure la distance entre M et l'axe le long de cette perpendiculaire.

4. Reporte la **même** distance de l'autre côté de l'axe : tu obtiens M'.

5. Vérifie : [MM'] coupe l'axe à angle droit et en son milieu.

- Reporter la distance « en diagonale » au lieu de suivre la perpendiculaire : on oublie l'angle droit et M' est mal placé.

- Croire qu'un point situé sur l'axe « disparaît » ou va ailleurs : non, il reste à sa place (M' = M).

- Mesurer la distance n'importe comment : il faut la mesurer **perpendiculairement** à l'axe, pas du point vers un coin de la feuille.

Construire un symétrique, c'est comme jouer au reflet à la règle et à l'équerre : tu pars du point, tu vas tout droit vers le miroir (l'axe) en formant un angle droit, tu notes la distance, puis tu continues de l'autre côté de la même longueur. Le point d'arrivée est le reflet.

**Outils.** L'**équerre** sert à tracer un angle droit (la perpendiculaire à l'axe). Le **compas** ou la **règle graduée** sert à reporter exactement la même distance de part et d'autre de l'axe.

**Propriété essentielle.** La symétrie axiale **conserve les longueurs**. Donc le symétrique d'un segment [AB] est un segment [A'B'] de **même longueur** : AB = A'B'. Pour construire le symétrique d'un segment, il suffit de construire les symétriques de ses deux extrémités A et B, puis de les relier. Même idée pour un triangle (3 sommets), un cercle (on transforme son centre, le rayon ne change pas).

**À quoi ça sert ?** À reproduire proprement des figures équilibrées et à compléter des dessins dont on ne connaît qu'une moitié.

Construire le symétrique du segment [AB] avec A(1 ; 2) et B(4 ; 1) par rapport à l'axe des ordonnées (Oy, la droite verticale).

- **Étape 1.** Je transforme A. Par rapport à Oy, la règle est (x ; y) → (−x ; y). Donc A(1 ; 2) → A'(−1 ; 2). (Pourquoi −x ? L'axe Oy est vertical, donc on inverse la gauche/droite, c'est-à-dire l'abscisse.)

- **Étape 2.** Je transforme B : B(4 ; 1) → B'(−4 ; 1).

- **Étape 3.** Je relie A' et B' : [A'B'] est le symétrique cherché.

- **Étape 4 (vérification par la longueur).** AB = √[(4−1)² + (1−2)²] = √(9 + 1) = √10. A'B' = √[(−4−(−1))² + (1−2)²] = √(9 + 1) = √10. Les longueurs sont égales : la construction est cohérente. ✔

Pour construire le symétrique d'une figure par rapport à une droite *d* :

1. Repère les **points clés** de la figure (extrémités d'un segment, sommets d'un triangle, centre d'un cercle).

2. Pour chaque point, trace la **perpendiculaire** à *d* avec l'équerre.

3. Reporte la même distance de l'autre côté de *d* pour obtenir chaque symétrique.

4. **Relie** les points images dans le même ordre que la figure de départ.

5. Vérifie en comparant une longueur de la figure et de son image : elles doivent être égales.

- Construire seulement le symétrique d'un point au lieu de TOUS les points clés : le segment ou le triangle obtenu est faux.

- Relier les images dans le mauvais ordre (relier A' à B' n'importe comment) : la figure se déforme.

- Reporter une distance « à vue d'œil » au lieu d'utiliser le compas ou la règle : l'égalité des distances n'est plus respectée.

Prends une figure dessinée sur une feuille, plante une punaise sur un point précis, puis fais tourner la feuille d'un demi-tour (un demi-cercle, comme l'aiguille d'une horloge qui passe de midi à 6 heures). La figure se retrouve « à l'envers » mais de la même taille. Ce point fixe au centre s'appelle le **centre de symétrie**, noté souvent O.

**Définition rigoureuse.** Soit un point O (le centre). Le **symétrique** d'un point M par rapport à O est le point M' tel que **O est le milieu du segment [MM']**.

Autrement dit : O, M et M' sont alignés, et OM = OM' (M et M' sont à la même distance de O, mais de part et d'autre). C'est une **rotation d'un demi-tour (180°)** autour de O.

**Comparaison avec l'axiale.** Dans la symétrie axiale, l'axe est la **médiatrice** de [MM'] (notion de droite et d'angle droit). Dans la symétrie centrale, le centre est le **milieu** de [MM'] (notion de point). Ne confonds pas « milieu » (centrale) et « médiatrice » (axiale).

**Coordonnées.** Symétrie centrale de centre O = origine du repère : (x ; y) → (−x ; −y) (on change les deux signes).

**Propriétés.** Comme la symétrie axiale, elle conserve longueurs, angles et aires. Différence : elle ne « retourne » pas en miroir, elle fait pivoter d'un demi-tour.

Trouver le symétrique de M(3 ; 5) par rapport à O, l'origine (0 ; 0).

- **Étape 1.** O doit être le milieu de [MM']. Le milieu se calcule par ((xM + xM')/2 ; (yM + yM')/2). On veut que ce milieu soit (0 ; 0).

- **Étape 2.** Pour les abscisses : (3 + xM')/2 = 0 donc 3 + xM' = 0 donc xM' = −3. (Pourquoi ? Pour que la moyenne soit 0, l'autre valeur doit être l'opposée de 3.)

- **Étape 3.** Pour les ordonnées : (5 + yM')/2 = 0 donc yM' = −5.

- **Étape 4.** Donc M'(−3 ; −5). On retrouve la règle (x ; y) → (−x ; −y).

- **Vérification.** Milieu de [MM'] = ((3 + (−3))/2 ; (5 + (−5))/2) = (0 ; 0) = O. ✔ Et O, M, M' sont bien alignés (M' est dans la direction opposée à M depuis O).

Pour construire le symétrique de M par rapport à un centre O :

1. Trace la **demi-droite** qui part de M et passe par O (la droite (MO)).

2. Mesure la distance OM.

3. À partir de O, continue sur cette droite, du côté opposé à M, sur la **même** distance OM.

4. Le point obtenu est M' : O est alors le milieu de [MM'].

5. Vérifie : M, O, M' sont alignés et OM = OM'.

- Placer M' du **même côté** que M par rapport à O : il faut le côté **opposé** (sinon M' = M).

- Confondre symétrie centrale et axiale : ici il n'y a **pas** d'angle droit à respecter, seulement un milieu et un alignement.

- En coordonnées, ne changer qu'un seul signe : la symétrie centrale par rapport à l'origine change les DEUX signes, (x ; y) → (−x ; −y).

Une figure a un **axe de symétrie** si on peut la plier le long d'une droite et que les deux moitiés se superposent exactement (comme plier un papillon en deux). Elle a un **centre de symétrie** si, en la faisant tourner d'un demi-tour autour d'un point, on retrouve exactement la même figure (comme la carte « pique » d'un jeu de cartes, identique tête en bas).

**Axe de symétrie d'une figure.** C'est une droite telle que la figure est son propre symétrique par cette symétrie axiale. Une figure peut avoir 0, 1, 2… ou une infinité d'axes.

**Centre de symétrie d'une figure.** C'est un point O tel que la figure est son propre symétrique par la symétrie centrale de centre O.

**Exemples chiffrés à connaître :**

- Le **carré** : 4 axes de symétrie (2 diagonales + 2 médianes des côtés) ET 1 centre de symétrie (intersection des diagonales).

- Le **rectangle** (non carré) : 2 axes (les deux médianes des côtés, PAS les diagonales) ET 1 centre.

- Le **cercle** : une **infinité** d'axes (tout diamètre) et 1 centre (son centre).

- Le **triangle équilatéral** : 3 axes, mais **pas** de centre de symétrie.

- Le **parallélogramme** quelconque : **aucun** axe, mais 1 centre (intersection des diagonales).

**Lettres de l'alphabet :** A, M, T, U ont un axe (vertical) ; B, C, D, E ont un axe (horizontal) ; H, I, O, X ont des axes ET un centre ; N, S, Z ont un centre mais **pas** d'axe.

Combien d'axes et de centres possède un rectangle de 6 cm sur 4 cm (non carré) ?

- **Étape 1.** Cherchons les axes : une droite est un axe si le pli superpose les deux moitiés. La médiane horizontale (qui coupe les côtés de 4 cm en leur milieu) convient. (Pourquoi ? Le haut se replie exactement sur le bas.)

- **Étape 2.** La médiane verticale (qui coupe les côtés de 6 cm en leur milieu) convient aussi. → 2 axes.

- **Étape 3.** Les diagonales NE sont PAS des axes : en pliant le long d'une diagonale, un rectangle non carré ne se superpose pas (un côté de 6 cm tomberait sur un côté de 4 cm). C'est l'erreur classique.

- **Étape 4.** Centre : l'intersection des diagonales. Un demi-tour autour de ce point redonne le même rectangle. → 1 centre.

- **Conclusion.** Rectangle non carré : 2 axes et 1 centre. (Le carré, lui, ajoute les 2 diagonales comme axes car tous ses côtés sont égaux.)

Pour trouver les axes/centre d'une figure :

1. **Test de l'axe** : imagine plier la figure le long d'une droite candidate ; si les deux parties se superposent parfaitement, c'est un axe. Essaie verticale, horizontale, puis diagonales.

2. **Test du centre** : repère un point candidat (souvent le « milieu » de la figure) ; imagine un demi-tour autour de lui ; si la figure est inchangée, c'est un centre.

3. Compte chaque axe valable une seule fois.

4. Pour les quadrilatères, méfie-toi des diagonales : elles ne sont des axes que si la figure y est « équilibrée » (carré, losange).

- Compter les diagonales d'un rectangle non carré comme des axes : c'est faux (elles ne superposent pas les moitiés).

- Confondre « avoir un centre » et « avoir un axe » : un parallélogramme a un centre mais aucun axe ; un triangle équilatéral a des axes mais aucun centre.

- Oublier des axes du carré : il en a 4, pas 2 (on oublie souvent les diagonales).