Le théorème des accroissements finis (TAF), expliqué simplement

Imagine que tu fais un trajet en voiture de 100 km en 2 heures. Si on te demande ta vitesse, tu réponds « 50 km/h ». Mais c'est faux à chaque instant ! Tu t'es arrêté aux feux (0 km/h), tu as accéléré sur l'autoroute (110 km/h). Ce « 50 km/h » est une **moyenne** : elle écrase tout ce qui se passe entre le départ et l'arrivée.

La **pente moyenne**, c'est exactement ce « 50 km/h » : elle regarde deux points éloignés et fait comme si la variation était régulière entre les deux.

La **pente instantanée**, c'est ce qu'indique ton compteur de vitesse à un instant *précis*, par exemple pile à 14h07. C'est la pente *en un seul point*.

Tout le calcul différentiel part de cette question : comment passer de la moyenne (facile à calculer avec deux points) à l'instantané (la vitesse en un point unique) ? Réponse : en rapprochant les deux points de plus en plus.

**Pente moyenne d'une fonction f entre deux points d'abscisses a et b.**

Sur un graphique, si tu relies le point A = (a ; f(a)) au point B = (b ; f(b)) par une droite, tu obtiens une **sécante** (une droite qui coupe la courbe en deux points). La pente de cette sécante est la pente moyenne :

$$ \text{pente moyenne} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\Delta y}{\Delta x} $$

- Δy (« delta y ») = variation verticale = f(b) − f(a).

- Δx (« delta x ») = variation horizontale = b − a.

- C'est le fameux **« coefficient directeur »** vu au collège : on monte de Δy quand on avance de Δx. On appelle aussi ça le **taux d'accroissement** (ou taux de variation).

**Mot difficile — « taux d'accroissement »** : c'est juste le nom savant de la pente moyenne. « Accroissement » = variation ; « taux » = rapport. Donc « de combien y varie pour chaque unité que x avance ».

**Pente instantanée en un point d'abscisse a.**

On ne peut pas prendre deux points identiques (on aurait 0/0, ce qui n'a pas de sens). L'idée géniale : on garde A fixe et on fait **glisser B vers A**. On note h la distance entre les deux abscisses, donc B a pour abscisse a + h. Le taux d'accroissement devient :

$$ \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$

Quand h devient **de plus en plus petit** (h « tend vers 0 »), la sécante pivote et se colle à la courbe : elle devient la **tangente** en A. Sa pente est la **pente instantanée**, aussi appelée **nombre dérivé** de f en a, noté f'(a).

**À quoi ça sert ?** À mesurer une vitesse instantanée (physique), un débit à un instant donné, la sensibilité d'un coût quand on produit une unité de plus (économie), ou tout simplement à savoir si une courbe monte, descend, et à quelle « raideur » en un point précis.

Prenons la fonction f(x) = x² (une parabole). On veut la pente **au point d'abscisse a = 3**.

**Étape 1 — Calculer d'abord une pente MOYENNE entre x = 3 et x = 5.**

- f(3) = 3² = 9 et f(5) = 5² = 25.

- Pente moyenne = (25 − 9) / (5 − 3) = 16 / 2 = **8**.

- *Pourquoi ?* On mesure une première estimation grossière avec deux points éloignés. Retiens ce 8, on va le raffiner.

**Étape 2 — Rapprocher B de A : entre x = 3 et x = 3,5.**

- f(3,5) = 12,25. Pente = (12,25 − 9) / (3,5 − 3) = 3,25 / 0,5 = **6,5**.

- *Pourquoi ?* En rapprochant les points, la sécante ressemble davantage à la tangente : l'estimation change.

**Étape 3 — Encore plus proche : entre x = 3 et x = 3,1.**

- f(3,1) = 9,61. Pente = (9,61 − 9) / 0,1 = 0,61 / 0,1 = **6,1**.

- *Pourquoi ?* On voit une tendance nette : 8 → 6,5 → 6,1. Les valeurs se stabilisent autour de 6.

**Étape 4 — Faire le calcul exact avec h.**

On calcule le taux d'accroissement en a = 3 en gardant h symbolique :

$$ \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{(3+h)^2 - 9}{h} $$

Développons (3+h)² = 9 + 6h + h². Donc :

$$ = \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \frac{6h + h^2}{h} = \frac{h(6 + h)}{h} = 6 + h $$

- *Pourquoi factoriser par h ?* Pour pouvoir simplifier le h du dénominateur : c'est lui qui bloquait le calcul (on ne peut pas diviser par 0 tel quel).

**Étape 5 — Faire tendre h vers 0.**

Dans « 6 + h », quand h devient minuscule, le résultat s'approche de **6**. Donc la pente instantanée est :

$$ f'(3) = 6 $$

C'est exactement la limite que suggéraient nos essais numériques (8 ; 6,5 ; 6,1…). La tangente à la parabole au point (3 ; 9) a pour pente 6.

**Quand tu dois trouver une pente MOYENNE (deux points a et b) :**

1. Calcule f(a) et f(b) séparément.

2. Applique (f(b) − f(a)) / (b − a). Ne mélange pas l'ordre : le même point en haut et en bas.

3. Le résultat est un nombre unique = pente de la sécante entre les deux points.

**Quand tu dois trouver une pente INSTANTANÉE (un seul point a) :**

4. Écris le taux d'accroissement (f(a + h) − f(a)) / h. Remplace par l'expression de f, puis développe.

5. Simplifie jusqu'à pouvoir **factoriser un h** au numérateur, puis barre-le avec le h du dénominateur.

6. Regarde ce qui reste et remplace h par 0 (« fais tendre h vers 0 »).

7. Le nombre obtenu est f'(a), la pente de la tangente en a.

**Repère visuel** : deux points reliés → sécante → pente *moyenne*. Un point où la droite « effleure » la courbe → tangente → pente *instantanée*.

- **Inverser numérateur et dénominateur.** La pente est Δy/Δx (vertical sur horizontal), pas Δx/Δy. Beaucoup écrivent (b − a)/(f(b) − f(a)) : c'est faux.

- **Mélanger l'ordre des points.** Si tu mets f(b) en haut, tu dois mettre b en bas. Écrire (f(b) − f(a)) / (a − b) donne le signe opposé, donc une pente fausse.

- **Simplifier h AVANT de développer.** Sur (f(3+h) − f(3))/h, on ne peut PAS remplacer h par 0 tout de suite : on obtiendrait 0/0 (forme indéterminée). Il faut d'abord développer et factoriser le h, PUIS le faire tendre vers 0.

- **Oublier le double produit dans (3+h)².** C'est 9 + 6h + h², pas 9 + h². Le terme 6h est justement celui qui survit et donne la pente : le zapper fausse tout le résultat.

- **Croire que la pente moyenne = la pente instantanée.** Elles coïncident seulement pour une droite. Sur une courbe (comme x²), la moyenne entre 3 et 5 (=8) est différente de l'instantanée en 3 (=6) : ce sont deux choses distinctes.

- **Confondre f(a) (une hauteur, la valeur de la fonction) et f'(a) (une pente, la raideur au point).** f(3) = 9 est l'ordonnée du point ; f'(3) = 6 est l'inclinaison de la tangente. Ce ne sont pas les mêmes nombres.

Imagine que tu fais un trajet en voiture entre deux villes. Tu parcours 120 km en 2 heures. Ta **vitesse moyenne** est donc de 60 km/h.

Question : y a-t-il eu au moins un instant précis où ton compteur affichait exactement 60 km/h ? La réponse est **oui**, forcément. Tu ne peux pas rester tout le temps en dessous de 60 (tu n'aurais pas fait 120 km), ni tout le temps au-dessus. À un moment donné, ta vitesse *instantanée* a été égale à ta vitesse *moyenne*.

Le théorème des accroissements finis (TAF) dit exactement cela, mais en langage mathématique : **entre deux points d'une courbe régulière, il existe au moins un endroit où la tangente est parallèle à la droite qui relie ces deux points.** La "vitesse moyenne" = la pente de la corde ; la "vitesse instantanée" = la pente de la tangente (le nombre dérivé).

**Énoncé rigoureux.** Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $[a, b]$ (avec $a < b$). Si :

1. $f$ est **continue** sur l'intervalle fermé $[a, b]$,

2. $f$ est **dérivable** sur l'intervalle ouvert $]a, b[$,

alors il existe **au moins un** réel $c$ appartenant à $]a, b[$ tel que :

$$f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

**Décodons les mots :**

- *Continue* : on peut tracer la courbe sans lever le crayon (pas de trou, pas de saut).

- *Dérivable* : en chaque point la courbe est "lisse", elle admet une tangente bien définie (pas de point anguleux, pas de tangente verticale).

- $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ : c'est la **pente de la corde** joignant les points $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$ — le taux d'accroissement moyen.

- $f'(c)$ : c'est la **pente de la tangente** au point d'abscisse $c$ — le nombre dérivé.

**À quoi ça sert.** Le TAF est un pont entre la variation *globale* d'une fonction (de $a$ à $b$) et son comportement *local* (la dérivée en un point). Il sert notamment à : démontrer qu'une fonction de dérivée positive est croissante, majorer un écart $|f(b)-f(a)|$ (inégalité des accroissements finis), prouver l'existence de solutions, et fonder l'analyse numérique.

**Remarque importante sur les conditions.** On demande la continuité sur le fermé $[a,b]$ (bords compris) mais la dérivabilité seulement sur l'ouvert $]a,b[$ (bords exclus). C'est volontaire : cela permet d'appliquer le théorème même à des fonctions comme $f(x)=\sqrt{x}$ sur $[0,1]$, qui est continue en $0$ mais dont la dérivée devient infinie en $0$.

**Cas particulier.** Si de plus $f(a) = f(b)$, la pente de la corde est nulle, donc $f'(c) = 0$ : c'est le **théorème de Rolle**, qui est en réalité la brique de base servant à démontrer le TAF.

**Énoncé :** Vérifions le TAF pour $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[1, 3]$, et trouvons la valeur de $c$.

**Étape 1 — Vérifier les hypothèses.** *Pourquoi ?* Le théorème ne s'applique QUE si les conditions sont remplies ; sinon la conclusion peut être fausse.

$f(x)=x^2$ est un polynôme : il est continu sur $[1,3]$ et dérivable sur $]1,3[$. ✅ Les deux conditions sont satisfaites, on a le droit d'appliquer le TAF.

**Étape 2 — Calculer la pente de la corde.** *Pourquoi ?* C'est le nombre que la dérivée devra atteindre.

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{3^2 - 1^2}{2} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

**Étape 3 — Calculer la dérivée.** *Pourquoi ?* Il nous faut l'expression de $f'(c)$ pour poser l'équation.

$$f'(x) = 2x \quad\Rightarrow\quad f'(c) = 2c$$

**Étape 4 — Résoudre $f'(c) = $ pente de la corde.** *Pourquoi ?* C'est exactement l'égalité affirmée par le théorème.

$$2c = 4 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$

**Étape 5 — Vérifier que $c \in\ ]a,b[$.** *Pourquoi ?* Le théorème garantit un $c$ *strictement entre* $a$ et $b$.

$c = 2$ appartient bien à $]1, 3[$. ✅

**Conclusion :** au point d'abscisse $c=2$, la tangente à la parabole a pour pente $4$, exactement comme la corde reliant $(1,1)$ et $(3,9)$. Le théorème est vérifié.

Quand on te demande d'appliquer le théorème des accroissements finis :

1. **Quand tu vois un intervalle $[a,b]$ et une fonction $f$** → écris d'abord les deux hypothèses à contrôler : continuité sur $[a,b]$, dérivabilité sur $]a,b[$. Un polynôme, une fonction rationnelle sur un intervalle sans pôle, $\sin$, $\cos$, $e^x$ les vérifient toujours.

2. **Si une hypothèse manque** → arrête-toi : le théorème ne s'applique pas, tu ne peux rien conclure (voir erreurs).

3. **Calcule le taux d'accroissement moyen** $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ : c'est la valeur cible.

4. **Calcule $f'(x)$** puis écris $f'(c)$.

5. **Pose l'équation** $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ et résous-la d'inconnue $c$.

6. **Garde uniquement les solutions dans $]a,b[$** ; élimine celles qui tombent sur les bords ou hors de l'intervalle.

7. **Si la question est théorique** (démontrer une inégalité, une croissance) → n'exhibe pas $c$, utilise seulement son existence et un encadrement de $f'$.

- **Confondre "il existe" et "pour tout".** Le théorème affirme qu'il existe *au moins un* $c$, pas que l'égalité vaut partout. Il peut d'ailleurs y avoir plusieurs $c$ (ex. certaines fonctions oscillantes).

- **Oublier de vérifier les hypothèses.** Sur $f(x)=|x|$ (valeur absolue) et $[-1,1]$ : la corde a pour pente $\frac{|1|-|-1|}{1-(-1)}=0$, mais la dérivée vaut $-1$ ou $+1$, jamais $0$. Le théorème échoue car $f$ **n'est pas dérivable en $0$** (point anguleux). Toujours contrôler la dérivabilité avant de conclure.

- **Exiger la dérivabilité aux bornes.** Sur $f(x)=\sqrt{x}$ et $[0,4]$, $f$ n'est pas dérivable en $0$ (tangente verticale), et pourtant le TAF s'applique : on demande la dérivabilité seulement sur l'**ouvert** $]0,4[$. Ne rejette pas la fonction à cause d'un problème uniquement au bord.

- **Se tromper de formule de pente.** On écrit $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$, PAS $\dfrac{f(a)-f(b)}{b-a}$ ni $f(b)-f(a)$ tout court. Le dénominateur $b-a$ est indispensable.

- **Accepter un $c$ sur le bord.** Une solution égale à $a$ ou $b$ ne convient pas : le théorème garantit $c$ **strictement** entre les deux. Une racine hors de $]a,b[$ doit être rejetée.

- **Croire que la réciproque est vraie.** Vérifier l'égalité $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ pour un $c$ donné ne prouve pas les hypothèses ; c'est l'inverse — les hypothèses garantissent l'existence de $c$.

> Rappel du contexte : le **théorème des accroissements finis (TAF)** dit que si une fonction $f$ est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$, alors il existe **au moins un** nombre $c$ dans $]a,b[$ tel que :

> $$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

> Ce chapitre répond à une seule question très concrète : **comment calculer ce fameux $c$ ?**

Imagine un trajet en voiture entre deux villes distantes de 100 km, parcourus en 1 heure. Ta **vitesse moyenne** est de 100 km/h. Tu n'as peut-être jamais roulé exactement à 100 km/h *tout le temps* : parfois 80, parfois 130. Mais le bon sens dit qu'il y a forcément eu **au moins un instant précis** où ton compteur affichait pile 100 km/h (quand tu es passé de « moins de 100 » à « plus de 100 »).

Le TAF, c'est exactement ça, en langage mathématique :

- La **vitesse moyenne** = le taux d'accroissement $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ (la pente de la droite qui relie les deux extrémités de la courbe).

- La **vitesse instantanée** = la dérivée $f'(c)$ (la pente de la tangente à la courbe au point $c$).

« Trouver le point $c$ », c'est trouver **l'instant précis $c$ où la vitesse instantanée égale la vitesse moyenne** : le point où la tangente à la courbe est parallèle à la corde $[AB]$.

**Définition rigoureuse.** Soit $f$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. Le TAF garantit l'existence d'un réel $c \in\ ]a,b[$ vérifiant :

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Décortiquons chaque symbole :

- $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est le **taux d'accroissement** : un simple nombre qu'on calcule avec les deux extrémités. Géométriquement, c'est la pente de la **corde** (le segment de droite reliant les points $A(a,f(a))$ et $B(b,f(b))$).

- $f'(c)$ est la **dérivée** évaluée en $c$ : la pente de la **tangente** au point d'abscisse $c$.

- L'égalité signifie : *corde et tangente ont la même pente, donc elles sont parallèles*.

**À quoi ça sert de trouver $c$ ?**

- À **prouver l'existence** de solutions à des équations sans les résoudre entièrement.

- À **majorer/minorer** des variations : l'inégalité des accroissements finis $|f(b)-f(a)| \le M\,|b-a|$ (où $M$ majore $|f'|$) en découle directement.

- En exercice, c'est la vérification concrète que le théorème « fonctionne » sur un cas donné.

**Point crucial :** trouver $c$ revient à **résoudre l'équation $f'(x) = k$**, où $k = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est un nombre déjà calculé. Le TAF promet qu'au moins une solution tombe dans $]a,b[$ ; ton travail est de la calculer et de vérifier qu'elle y est bien.

**Énoncé.** Soit $f(x) = x^2$ sur l'intervalle $[1,\,3]$. Trouver le(s) point(s) $c$ donné(s) par le TAF.

**Étape 1 — Vérifier les hypothèses.**

$f(x)=x^2$ est un polynôme : il est continu et dérivable sur $\mathbb{R}$, donc en particulier continu sur $[1,3]$ et dérivable sur $]1,3[$.

*Pourquoi ?* Sans ces hypothèses, le théorème ne s'applique pas et chercher $c$ n'aurait aucun sens. On ne saute jamais cette étape.

**Étape 2 — Calculer le taux d'accroissement (la pente de la corde).**

$$k = \frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{3^2 - 1^2}{2} = \frac{9-1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

*Pourquoi ?* C'est le nombre que la dérivée devra égaler. On le calcule d'abord parce que tout le reste en dépend.

**Étape 3 — Calculer la dérivée $f'(x)$.**

$$f'(x) = 2x$$

*Pourquoi ?* $f'(c)$ est la pente de la tangente ; il faut son expression générale avant de la fixer égale à $k$.

**Étape 4 — Poser et résoudre l'équation $f'(c) = k$.**

$$f'(c) = 4 \;\Longleftrightarrow\; 2c = 4 \;\Longleftrightarrow\; c = 2$$

*Pourquoi ?* C'est le cœur du TAF : on cherche l'abscisse où tangente et corde ont la même pente.

**Étape 5 — Vérifier que $c$ appartient bien à $]a,b[$.**

Est-ce que $2 \in\ ]1,3[$ ? Oui, car $1 < 2 < 3$. ✅

*Pourquoi ?* Le TAF ne garantit une solution que **strictement à l'intérieur** de l'intervalle. Une solution hors de $]1,3[$ ne compterait pas.

**Conclusion.** Le point cherché est $c = 2$. Au point $(2,\,4)$, la tangente à la parabole a pour pente $4$, exactement comme la corde reliant $(1,1)$ à $(3,9)$ : elles sont parallèles.

**Vérification finale (facultative mais rassurante) :** $f'(2) = 2\times 2 = 4 = k$. Tout concorde.

**Quand on te demande de « trouver le point $c$ » avec le TAF :**

1. **Vérifie les hypothèses.** $f$ continue sur $[a,b]$ ET dérivable sur $]a,b[$. Repère les valeurs de $a$ et $b$.

2. **Calcule le taux d'accroissement** $k = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. C'est un nombre, pas une fonction.

3. **Calcule la dérivée** $f'(x)$ sous forme générale.

4. **Pose l'équation** $f'(c) = k$ et **résous-la** pour trouver $c$.

5. **Filtre les solutions** : garde uniquement celles qui sont dans $]a,b[$ (strictement). Rejette les autres.

6. **Conclus** en donnant explicitement la ou les valeurs de $c$ retenues.

7. **(Contrôle)** Recalcule $f'(c)$ et vérifie qu'il vaut bien $k$.

- **Confondre $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ avec $f'(b)-f'(a)$ ou avec $\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$.** Le taux d'accroissement se calcule avec $f$ (les images), pas avec la dérivée. Sur l'exemple : $k=4$, alors que $f'(3)-f'(1)=6-2=4$ ici *par hasard* — ne te fie jamais à cette coïncidence.

- **Oublier de vérifier que $c \in\ ]a,b[$.** Sur $f(x)=x^3$, $[-1,1]$ : $k=\frac{1-(-1)}{2}=1$, $f'(x)=3x^2=1$ donne $x=\pm\frac{1}{\sqrt3}\approx\pm0{,}577$. **Les deux** sont dans $]-1,1[$, donc il y a **deux** points $c$. À l'inverse, une solution comme $x=5$ pour un intervalle $[1,3]$ doit être rejetée.

- **Confondre le TAF avec le théorème de Rolle.** Rolle est le cas particulier où $f(a)=f(b)$, donc $k=0$ et on résout $f'(c)=0$. Si $f(a)\neq f(b)$, tu dois utiliser le vrai taux, pas $0$.

- **Écrire $c=2$ sans conclure.** Trouver la valeur ne suffit pas : il faut affirmer qu'elle appartient à l'intervalle ouvert et répondre à la question posée.

- **Croire que $c$ est unique.** Le théorème dit « il existe au moins un $c$ ». Selon la fonction, il peut y en avoir plusieurs (voir l'exemple du cube ci-dessus) : garde-les tous.

- **Diviser par $b-a$ en inversant l'ordre**, par exemple écrire $\frac{f(a)-f(b)}{b-a}$. Numérateur et dénominateur doivent suivre le même sens : $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Imagine que tu roules en voiture pendant 2 heures. Ton GPS te dit qu'à aucun moment tu n'as dépassé 100 km/h. Question : quelle distance MAXIMALE peux-tu avoir parcourue ? La réponse est évidente : au plus 100 × 2 = 200 km. Tu ne connais pas ta vitesse exacte à chaque instant, mais comme elle est **plafonnée par 100**, la distance totale est plafonnée elle aussi.

L'inégalité des accroissements finis (souvent notée **IAF**), c'est exactement cette idée, mais en langage mathématique. La vitesse, c'est la **dérivée** $f'$. La distance parcourue, c'est la **variation** $f(b) - f(a)$. Si la dérivée (la « vitesse ») ne dépasse jamais une valeur $M$, alors la variation de la fonction ne peut pas être plus grande que $M$ multiplié par la longueur de l'intervalle. On borne un déplacement en bornant la vitesse.

**Définition rigoureuse.** Soit $f$ une fonction **continue** sur un intervalle $[a\,;b]$ et **dérivable** sur $]a\,;b[$. S'il existe un réel $M \ge 0$ tel que pour tout $x$ de $]a\,;b[$ on ait

$$|f'(x)| \le M,$$

alors :

$$|f(b) - f(a)| \le M\,(b - a).$$

**Mots à expliquer :**

- **Accroissement fini** : la quantité $f(b) - f(a)$, c'est-à-dire de combien la fonction a « augmenté » (ou diminué) entre $a$ et $b$. « Fini » s'oppose à « infinitésimal » (une variation sur un tout petit intervalle).

- $|f'(x)| \le M$ signifie que la dérivée est **encadrée** entre $-M$ et $+M$ : la pente de la courbe ne devient jamais trop raide, ni vers le haut ni vers le bas.

**Version plus générale (avec deux points).** Pour tous $x, y$ de l'intervalle :

$$|f(x) - f(y)| \le M\,|x - y|.$$

Une fonction qui vérifie cela est dite **$M$-lipschitzienne** : ses valeurs ne peuvent pas « s'écarter » plus vite que la distance entre les points, à un facteur $M$ près.

**À quoi ça sert concrètement :**

1. **Majorer une variation** sans calculer $f(b)$ ou $f(a)$ exactement (utile quand le calcul exact est impossible).

2. **Encadrer une valeur inconnue** : approcher $\sin(0{,}01)$, $\sqrt{4{,}01}$, etc., avec un contrôle de l'erreur.

3. **Démontrer qu'une suite converge** (suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$) : c'est le cœur du **théorème du point fixe**.

4. **Prouver qu'une fonction est constante** : si $f' = 0$ partout, alors $M = 0$, donc $|f(b)-f(a)| \le 0$, donc $f(b) = f(a)$ pour tous points : $f$ est constante.

**Différence importante à retenir.** L'égalité des accroissements finis (TAF) dit qu'il *existe* un point $c$ où $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$. L'**inégalité** (IAF), elle, ne cherche pas ce point : elle donne directement une **borne**. En pratique, l'inégalité est souvent plus utile car on veut majorer, pas localiser.

**Problème : montrer que pour tout réel $x$, $|\sin x| \le |x|$.**

**Étape 1 — Choisir la fonction et l'intervalle.** On pose $f(t) = \sin t$. On veut comparer $\sin x$ à $0 = \sin 0$, donc on travaille sur l'intervalle entre $0$ et $x$. *Pourquoi ?* Parce que $\sin 0 = 0$ : cela va faire apparaître $\sin x - \sin 0 = \sin x$, exactement la quantité qu'on veut majorer.

**Étape 2 — Vérifier les hypothèses.** $f(t) = \sin t$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, donc sur n'importe quel intervalle $[0\,;x]$. *Pourquoi c'est nécessaire :* l'IAF ne s'applique qu'aux fonctions dérivables ; sans cette vérification, la conclusion n'est pas garantie.

**Étape 3 — Majorer la dérivée.** $f'(t) = \cos t$, et on sait que $|\cos t| \le 1$ pour tout $t$. Donc on prend $M = 1$. *Pourquoi $M=1$ :* c'est la plus petite borne évidente de $|\cos|$, et plus $M$ est petit, plus l'inégalité obtenue est fine.

**Étape 4 — Appliquer l'IAF.** Entre les points $0$ et $x$ :

$$|f(x) - f(0)| \le M\,|x - 0|,$$

c'est-à-dire

$$|\sin x - 0| \le 1 \times |x|.$$

**Étape 5 — Conclure.** On obtient $|\sin x| \le |x|$ pour tout réel $x$. *Interprétation :* près de $0$, le sinus reste « collé » sous la droite $y = x$ ; c'est ce qui justifie l'approximation $\sin x \approx x$ pour les petits angles.

**Deuxième exemple express (encadrement numérique).** Estimons $\sqrt{4{,}01}$ avec $f(t)=\sqrt{t}$, $f'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt t}$ sur $[4\,;4{,}01]$. Sur cet intervalle $\sqrt t \ge 2$, donc $|f'(t)| \le \dfrac{1}{2\times 2} = \dfrac14 = M$. Alors :

$$|\sqrt{4{,}01} - \sqrt{4}| \le \tfrac14 \times 0{,}01 = 0{,}0025.$$

Comme $\sqrt4 = 2$, on en déduit $2 \le \sqrt{4{,}01} \le 2{,}0025$. (Valeur réelle $\approx 2{,}00250$ : la borne est excellente.)

**Quand tu vois « montrer que $|f(b)-f(a)| \le \dots$ » ou « majorer une variation », fais ça :**

1. **Identifie la fonction $f$** et les **deux points** $a$ et $b$ qui font apparaître la quantité à majorer (choisis souvent un point où $f$ a une valeur simple, comme $0$).

2. **Vérifie** que $f$ est continue sur $[a\,;b]$ et dérivable sur $]a\,;b[$ (ne saute jamais cette phrase dans une copie).

3. **Calcule $f'(x)$** puis **cherche un majorant $M$ de $|f'(x)|$** sur l'intervalle. C'est l'étape clé : encadre $f'$ avec les propriétés connues ($|\cos|\le1$, monotonie, etc.).

4. **Écris l'IAF** : $|f(b)-f(a)| \le M\,(b-a)$.

5. **Remplace** $f(a)$, $f(b)$, $M$ et $b-a$ par leurs valeurs, puis simplifie.

6. **Pour une suite $u_{n+1}=f(u_n)$** qui converge vers un point fixe $\ell$ : applique l'IAF entre $u_n$ et $\ell$ pour obtenir $|u_{n+1}-\ell| \le M\,|u_n-\ell|$, puis par récurrence $|u_n-\ell| \le M^n\,|u_0-\ell|$. Si $M<1$, la suite converge.

7. **Pour prouver qu'une fonction est constante** : montre que $f'=0$, prends $M=0$, conclus $f(b)=f(a)$ pour tous points.

- **Oublier la valeur absolue.** L'IAF majore $|f(b)-f(a)|$, pas $f(b)-f(a)$. Écrire $f(b)-f(a) \le M(b-a)$ sans valeur absolue perd l'information sur la borne inférieure $-M(b-a)$.

- **Prendre un mauvais $M$.** $M$ doit majorer $|f'|$ **sur tout l'intervalle**, pas seulement en un point. Exemple : sur $[4\,;4{,}01]$ pour $f'(t)=\frac{1}{2\sqrt t}$, il faut utiliser $\sqrt t \ge 2$ (la plus petite valeur de $\sqrt t$ donne le plus grand $f'$). Se tromper de sens d'inégalité donne un $M$ trop petit et une majoration fausse.

- **Confondre $b-a$ et $|b-a|$.** Si tu appliques l'IAF avec $a > b$ (par exemple entre $0$ et un $x$ négatif), garde bien la valeur absolue $|x|$, sinon tu obtiens une « longueur » négative absurde.

- **Oublier de vérifier la dérivabilité.** Sur une fonction comme $t\mapsto \sqrt t$ en $t=0$, la dérivée explose : $|f'|$ n'est pas bornée près de $0$, donc l'IAF ne s'applique pas sur un intervalle contenant $0$. Toujours vérifier que $M$ existe réellement.

- **Croire que l'IAF donne la valeur exacte.** Elle donne une **borne**, pas l'égalité. $|\sin x| \le |x|$ ne veut pas dire $\sin x = x$ ; l'écart existe et grandit quand $|x|$ augmente.

- **Confondre IAF (inégalité) et TAF (égalité).** Le TAF affirme l'existence d'un $c$ tel que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ ; il ne borne rien tout seul. Ne cite pas « il existe $c$ » quand la question demande une majoration : c'est l'inégalité qu'il faut.