Les équations du second degré : résoudre ax² + bx + c = 0

Imagine une balançoire dont la forme du mouvement dessine une **parabole** (une courbe en U). Une équation du second degré, c'est la « carte d'identité » de cette courbe. Ce qui la caractérise, c'est qu'il y a un terme où l'inconnue est **élevée au carré** : $x^2$. C'est ce carré, et rien d'autre, qui fait qu'une équation est « du second degré ».

Analogie : pense au plus haut exposant de $x$ comme au « grade » de l'équation. Si le plus haut grade est 1 (juste $x$), c'est une équation du premier degré (une droite). Si le plus haut grade est 2 (il y a un $x^2$ qui ne disparaît pas), c'est le second degré. Ton premier réflexe est donc de **chercher le plus grand exposant de l'inconnue**.

Une **équation du second degré** (à une inconnue $x$) est une équation qui peut s'écrire sous la **forme canonique développée** :

$$ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{avec } a \neq 0$$

Explication de chaque symbole :

- **$x$** : l'inconnue, ce qu'on cherche.

- **$a$** : le coefficient du terme en $x^2$ (le terme *quadratique*). **Condition absolue : $a \neq 0$.** Si $a = 0$, le $x^2$ disparaît et il ne reste que $bx + c = 0$, une équation du **premier degré** : ce n'est plus le second degré.

- **$b$** : le coefficient du terme en $x$ (le terme *linéaire*). Il peut valoir 0.

- **$c$** : le terme **constant** (sans $x$). Il peut valoir 0.

*Coefficient* = le nombre qui multiplie une puissance de $x$. *Terme constant* = le nombre tout seul.

**À quoi ça sert ?** Identifier correctement $a$, $b$, $c$ est l'étape indispensable avant tout calcul : le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et les solutions $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ utilisent directement ces trois nombres. Une erreur de signe sur $b$ ou $c$ fausse tout le reste. Reconnaître et ranger l'équation est donc la fondation de tout le chapitre.

Point crucial : pour lire $a$, $b$, $c$, l'équation doit d'abord être **égale à 0** et **développée/réduite**. Tant qu'elle ne ressemble pas à $ax^2 + bx + c = 0$, on ne peut pas lire les coefficients directement.

**Énoncé :** est-ce que $3x^2 - 5x + 2 = 0$ est une équation du second degré ? Si oui, donne $a$, $b$, $c$.

**Étape 1 — Vérifier la présence d'un $x^2$.** Je vois le terme $3x^2$. *Pourquoi ?* Sans terme en $x^2$ avec un coefficient non nul, ce ne serait pas du second degré. Ici il existe : bon signe.

**Étape 2 — Vérifier que l'équation est bien = 0 et développée.** Le membre de droite est $0$, et à gauche tout est développé et réduit (un seul $x^2$, un seul $x$, une constante). *Pourquoi ?* Les coefficients ne se lisent que sur la forme $ax^2+bx+c=0$.

**Étape 3 — Identifier $a$.** C'est le nombre devant $x^2$ : $a = 3$. Comme $3 \neq 0$, la condition est respectée, c'est bien du second degré.

**Étape 4 — Identifier $b$.** C'est le nombre devant $x$, **avec son signe**. Le terme est $-5x$, donc $b = -5$ (et non $+5$). *Pourquoi ?* Le signe « moins » fait partie du coefficient.

**Étape 5 — Identifier $c$.** C'est le terme constant : $c = +2$. *Pourquoi ?* C'est le seul nombre sans $x$.

**Conclusion :** $a = 3$, $b = -5$, $c = 2$.

**Deuxième exemple avec réécriture :** $2x^2 = 7x - 4$.

Ce n'est pas encore égal à 0. Je fais tout passer d'un côté : $2x^2 - 7x + 4 = 0$. Maintenant je lis : $a = 2$, $b = -7$, $c = 4$.

**Troisième exemple (coefficient caché) :** $x^2 - 9 = 0$.

Il n'y a pas de terme en $x$ écrit, et pas de nombre visible devant $x^2$. Mais $x^2$ signifie $1 \times x^2$, donc $a = 1$. L'absence de terme en $x$ signifie $b = 0$. Et $c = -9$. Donc $a = 1$, $b = 0$, $c = -9$.

1. **Quand tu vois une équation, cherche d'abord un terme en $x^2$.** S'il n'y en a aucun (ou s'il se simplifie et disparaît), ce n'est pas du second degré.

2. **Ramène tout à la forme « = 0 ».** Fais passer chaque terme du même côté pour obtenir $\ldots = 0$.

3. **Développe et réduis** (chasse les parenthèses, regroupe les $x^2$ ensemble, les $x$ ensemble, les constantes ensemble).

4. **Range dans l'ordre** $x^2$, puis $x$, puis constante : $ax^2 + bx + c = 0$.

5. **Lis $a$** = coefficient de $x^2$. Vérifie $a \neq 0$ (sinon c'est du premier degré).

6. **Lis $b$ puis $c$ avec leurs signes.** Si un terme manque, son coefficient est $0$. Si $x^2$ ou $x$ n'a pas de nombre écrit devant, le coefficient est $1$.

7. **Vérifie** en re-développant mentalement : $ax^2 + bx + c$ redonne-t-il l'équation de départ ?

- **Oublier le signe de $b$ ou $c$.** Dans $x^2 - 5x + 6 = 0$, écrire $b = 5$ au lieu de $b = -5$. Le signe « − » appartient au coefficient : $b = -5$, $c = +6$.

- **Lire les coefficients avant d'avoir mis l'équation = 0.** Dans $2x^2 + 3x = 5$, croire que $c = 5$. Faux : il faut d'abord écrire $2x^2 + 3x - 5 = 0$, donc $c = -5$.

- **Croire qu'il n'y a pas de $a$ quand il n'est pas écrit.** Dans $x^2 + 4x + 1 = 0$, dire « il n'y a pas de $a$ ». En réalité $a = 1$ (car $x^2 = 1x^2$).

- **Prendre $b = 0$ ou $c = 0$ pour une erreur.** Dans $3x^2 - 12 = 0$, il n'y a pas de terme en $x$ : c'est normal, $b = 0$. L'équation reste du second degré.

- **Confondre premier et second degré quand le $x^2$ s'annule.** Dans $x^2 + 5 = x^2 + 2x$, après simplification les $x^2$ disparaissent : il reste $5 = 2x$, une équation du **premier degré**. Toujours simplifier avant de conclure.

- **Mal ranger les termes** et intervertir $b$ et $c$. Range toujours dans l'ordre décroissant des puissances ($x^2$, puis $x$, puis constante) avant de lire.

- **Ne pas voir un second degré déguisé.** $(x-1)(x+3) = 0$ est bien du second degré : en développant on obtient $x^2 + 2x - 3 = 0$, donc $a=1$, $b=2$, $c=-3$.

Imagine que tu lances une balle en l'air et que tu veux savoir **combien de fois** son ombre au sol touche exactement une ligne tracée par terre. Selon la force du lancer, l'ombre peut couper la ligne à deux endroits, la frôler en un seul point, ou passer complètement au-dessus sans jamais la toucher.

Le **discriminant**, noté Δ (la lettre grecque « delta »), c'est exactement ce détecteur : avant même de résoudre l'équation, il te dit combien de fois la courbe (une parabole) touche l'axe horizontal — donc combien l'équation a de solutions. C'est un **espion** : il te renseigne sans que tu aies fait tout le calcul.

Une équation du second degré s'écrit sous la forme :

**ax² + bx + c = 0**, avec a ≠ 0.

Ici a, b et c sont des nombres fixés appelés **coefficients**. La condition a ≠ 0 est essentielle : si a = 0, il n'y a plus de x² et ce n'est plus une équation du second degré.

Le discriminant se calcule ainsi :

**Δ = b² − 4ac**

Mot difficile : *discriminant* vient de « discriminer » = distinguer, trier. Il **trie** les cas possibles. Sa règle est :

- **Si Δ > 0** : l'équation a **deux solutions réelles distinctes**, données par

x₁ = (−b − √Δ) / (2a) et x₂ = (−b + √Δ) / (2a).

- **Si Δ = 0** : l'équation a **une seule solution** (dite double), x₀ = −b / (2a).

- **Si Δ < 0** : l'équation **n'a aucune solution réelle** (impossible de calculer √Δ avec un nombre négatif dans les réels).

**À quoi ça sert ?** À prévoir immédiatement si un problème a des solutions avant de se lancer dans le calcul complet. En physique, cela dit par exemple si un projectile atteint une hauteur donnée ; en géométrie, si une droite coupe une parabole. Le signe de Δ, c'est le nombre de fois où la parabole y = ax² + bx + c croise l'axe des x.

Résolvons **2x² − 7x + 3 = 0**.

**Étape 1 — Identifier a, b, c.**

a = 2, b = −7, c = 3.

*Pourquoi ?* Parce que toute la méthode repose sur ces trois nombres ; se tromper de signe sur b (ici il est négatif !) fausse tout le reste.

**Étape 2 — Calculer Δ.**

Δ = b² − 4ac = (−7)² − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25.

*Pourquoi ?* (−7)² = 49 (un carré est toujours positif), et 4 × 2 × 3 = 24. On garde bien le carré et le produit séparés avant de soustraire.

**Étape 3 — Lire le signe de Δ.**

Δ = 25 > 0, donc **deux solutions distinctes**. On sait déjà, sans finir, que le problème a deux réponses.

*Pourquoi ?* C'est tout l'intérêt du discriminant : la conclusion sur le nombre de solutions tombe ici.

**Étape 4 — Calculer √Δ.**

√25 = 5.

*Pourquoi ?* On a besoin de la racine carrée pour appliquer les formules des solutions.

**Étape 5 — Appliquer les formules.**

x₁ = (−b − √Δ) / (2a) = (7 − 5) / 4 = 2 / 4 = 0,5.

x₂ = (−b + √Δ) / (2a) = (7 + 5) / 4 = 12 / 4 = 3.

*Pourquoi ?* −b = −(−7) = +7 : attention, le −b transforme le −7 en +7. Le dénominateur 2a = 2 × 2 = 4.

**Vérification :** pour x = 3 : 2×9 − 7×3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0 ✓. Pour x = 0,5 : 2×0,25 − 7×0,5 + 3 = 0,5 − 3,5 + 3 = 0 ✓.

1. **Quand tu vois une équation**, ramène-la d'abord à la forme ax² + bx + c = 0 (tout d'un côté, 0 de l'autre).

2. **Repère a, b, c avec leurs signes**, y compris les signes négatifs. Écris-les à part.

3. **Calcule Δ = b² − 4ac** : d'abord b² (toujours positif), puis 4ac, puis la soustraction.

4. **Regarde le signe de Δ** et conclus le nombre de solutions : > 0 → deux ; = 0 → une ; < 0 → aucune.

5. **Si Δ ≥ 0**, calcule √Δ puis applique les formules x = (−b ± √Δ) / (2a).

6. **Vérifie** en remplaçant chaque solution dans l'équation de départ : tu dois retomber sur 0.

- **Oublier le carré sur b avec un b négatif.** Avec b = −7, on a b² = (−7)² = **+49**, pas −49. Le carré d'un nombre négatif est positif.

- **Se tromper de signe dans 4ac quand c est négatif.** Ex. a=1, c=−6 : 4ac = 4×1×(−6) = −24, et Δ = b² − (−24) = b² + 24. Le « moins fois moins » ajoute au lieu d'enlever.

- **Conclure « pas de solution » dès qu'on voit un nombre négatif dans le calcul.** Ce qui compte, c'est le signe **final** de Δ, pas des étapes intermédiaires.

- **Croire que Δ = 0 signifie « aucune solution ».** Non : Δ = 0 donne **une** solution (double), pas zéro.

- **Oublier que −b change le signe.** Dans x = (−b ± √Δ)/(2a), si b = −7 alors −b = +7. Beaucoup gardent −7 par distraction.

- **Prendre la racine d'un Δ négatif.** Dans les nombres réels, √(−4) n'existe pas : si Δ < 0, on s'arrête et on écrit « aucune solution réelle ».

Imagine que le discriminant Δ soit le "feu tricolore" de ton équation : il t'a déjà dit combien de routes existent. La formule **x = (−b ± √Δ) / 2a** est le **GPS** qui te donne les coordonnées exactes de ces routes.

Le petit symbole **±** ("plus ou moins") est une fabrique à deux résultats : tu fais UNE fois le calcul avec un **+**, puis UNE fois avec un **−**. C'est comme une fourche sur ta route : la même origine, mais deux destinations. Le −b/2a est le milieu de la fourche (le sommet de la parabole), et le √Δ/2a est l'écart, à gauche et à droite, pour rejoindre les deux solutions.

Une équation du second degré s'écrit **ax² + bx + c = 0** avec **a ≠ 0**. On a d'abord calculé le discriminant :

**Δ = b² − 4ac**

Quand **Δ > 0**, l'équation a deux solutions distinctes données par :

**x₁ = (−b − √Δ) / 2a** et **x₂ = (−b + √Δ) / 2a**

À quoi ça sert ? Ces valeurs sont les **racines** : ce sont les abscisses des points où la parabole y = ax² + bx + c **coupe l'axe des x** (là où y = 0). Concrètement, on s'en sert pour trouver quand une hauteur revient à zéro (chute d'un objet), quand un bénéfice s'annule, ou pour factoriser l'expression sous la forme a(x − x₁)(x − x₂).

Mots à connaître :

- **Discriminant (Δ)** : le nombre b² − 4ac, qui décide du nombre de solutions.

- **√Δ** : la racine carrée du discriminant ; elle n'existe (dans les réels) que si Δ ≥ 0.

- **±** : indique qu'on calcule les DEUX cas, un avec −, un avec +.

Rappel des prérequis : a est le coefficient devant x², b devant x, c le terme constant. Le signe compte : dans x² − 5x + 6, on a a = 1, b = −5, c = 6.

Résolvons **2x² − 7x + 3 = 0**.

**Étape 1 — Identifier a, b, c.** a = 2, b = −7, c = 3. *Pourquoi ?* Chaque lettre de la formule doit être remplacée par le bon nombre AVEC son signe, sinon tout le calcul est faux.

**Étape 2 — Calculer Δ.** Δ = b² − 4ac = (−7)² − 4×2×3 = 49 − 24 = 25. *Pourquoi ?* (−7)² = 49 (un carré est toujours positif). Comme Δ = 25 > 0, on sait qu'il y a bien deux solutions : on a le droit d'utiliser la formule.

**Étape 3 — Calculer √Δ.** √25 = 5. *Pourquoi ?* On a la chance d'avoir un carré parfait ; le résultat est exact. Si ce n'était pas le cas, on laisserait la racine (ex. √20).

**Étape 4 — Écrire la formule avec les valeurs.** x = (−(−7) ± 5) / (2×2) = (7 ± 5) / 4. *Pourquoi ?* Attention : −b, c'est −(−7) = +7. Le double signe se simplifie en +. Le dénominateur 2a = 4 est le MÊME pour les deux solutions.

**Étape 5 — Séparer les deux cas.**

- Avec + : x₂ = (7 + 5) / 4 = 12/4 = **3**

- Avec − : x₁ = (7 − 5) / 4 = 2/4 = **1/2**

**Étape 6 — Vérifier.** Remplaçons x = 3 : 2×9 − 7×3 + 3 = 18 − 21 + 3 = 0 ✓. Et x = 1/2 : 2×(1/4) − 7×(1/2) + 3 = 0,5 − 3,5 + 3 = 0 ✓. *Pourquoi ?* Réinjecter les solutions dans l'équation de départ est le seul moyen sûr de détecter une erreur de calcul.

**Solutions : S = {1/2 ; 3}.**

1. **Mets l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0** (tout d'un côté, 0 de l'autre) avant de lire a, b, c.

2. **Repère a, b, c avec leur signe**, puis calcule Δ = b² − 4ac.

3. **Vérifie que Δ ≥ 0** : si Δ < 0, STOP, pas de solution réelle, la formule ne s'applique pas.

4. **Calcule √Δ** : exact si carré parfait, sinon laisse-le sous la racine.

5. **Écris x = (−b ± √Δ) / 2a** en remplaçant, et calcule d'abord −b et 2a à part pour éviter les erreurs de signe.

6. **Dédouble** : un calcul avec +, un avec −, puis simplifie chaque fraction.

7. **Vérifie** en remplaçant chaque solution dans l'équation initiale ; tu dois retomber sur 0.

- **Oublier le signe de b dans −b.** Si b = −7, alors −b = +7, pas −7. Beaucoup écrivent (−7 ± 5)/4 au lieu de (7 ± 5)/4 et trouvent des solutions négatives fausses.

- **Diviser seulement le premier terme par 2a.** La barre de fraction couvre TOUT le numérateur : c'est (−b ± √Δ) / 2a, donc (7 ± 5) puis ÷4. Écrire 7 ± 5/4 (en ne divisant que le 5) est faux.

- **Confondre 2a et 2×a×quelque chose.** Le dénominateur est 2a = 2×2 = 4 ici, pas 2 ni a².

- **Prendre √Δ = ±√Δ.** La racine carrée √25 vaut 5 (un seul nombre positif). C'est le symbole ± de la formule qui crée les deux cas, pas la racine elle-même.

- **Se tromper sur (−7)² = −49.** Un nombre au carré est toujours positif : (−7)² = 49.

- **Simplifier (−b ± √Δ)/2a quand a est négatif sans faire attention au signe du dénominateur.** Si a = −3, alors 2a = −6 : garde bien le signe moins au dénominateur pour les deux solutions.

Imagine une équation du second degré comme une machine à deux boutons : $x_1$ et $x_2$, les deux valeurs de $x$ qui "éteignent" l'expression (la rendent égale à zéro). Le trinôme $ax^2+bx+c$ n'est rien d'autre qu'un produit déguisé. Factoriser, c'est démonter la machine pour voir ces deux boutons apparaître en clair : $a(x-x_1)(x-x_2)$.

La somme et le produit, c'est le raccourci du bricoleur : sans démonter entièrement la machine, tu peux deviner les deux boutons parce que tu connais leur somme ($x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$) et leur produit ($x_1 x_2 = \frac{c}{a}$). Comme deux nombres dont on connaît la somme et le produit, on les retrouve à tête reposée.

Et $\Delta$ (le discriminant), c'est le voyant lumineux : il te dit **combien** de boutons existent avant même de les chercher. Deux boutons ($\Delta>0$), un seul bouton double ($\Delta=0$), ou aucun bouton réel ($\Delta<0$).

Un trinôme du second degré s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$. Le **discriminant** vaut :

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Il gouverne la factorisation :

- **Si $\Delta>0$** : deux racines réelles distinctes $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, et $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

- **Si $\Delta=0$** : une seule racine, dite **racine double**, $x_0=\dfrac{-b}{2a}$. La factorisation devient un carré parfait : $f(x)=a(x-x_0)^2$. C'est le cas particulier où les deux racines sont confondues ($x_1=x_2$).

- **Si $\Delta<0$** : $\sqrt{\Delta}$ n'existe pas dans les réels, donc **aucune racine réelle**. Le trinôme est **irréductible** dans $\mathbb{R}$ : on ne peut PAS le factoriser en produit de facteurs du premier degré à coefficients réels. Le signe de $f(x)$ est alors constant, égal au signe de $a$, pour tout $x$.

Les **relations somme-produit** (valables quand $\Delta\geq 0$) : si $x_1$ et $x_2$ sont les racines,

$$S = x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad P = x_1 x_2 = \frac{c}{a}.$$

À quoi ça sert ? À factoriser sans calculer $\Delta$ quand les racines sont "simples", à retrouver une racine cachée quand on en connaît déjà une ($x_2 = \frac{P}{x_1}$ ou $x_2 = S - x_1$), à vérifier ses résultats, et à reconstruire une équation à partir de ses solutions : $x^2 - Sx + P = 0$.

**Traitons les trois cas sur des exemples concrets.**

**Cas $\Delta>0$ avec somme-produit — $x^2 - 5x + 6 = 0$.**

Étape 1 : ici $a=1$, donc $S = -\frac{b}{a} = 5$ et $P = \frac{c}{a} = 6$. *Pourquoi ?* Parce qu'avec $a=1$ la somme est l'opposé de $b$ et le produit est $c$.

Étape 2 : je cherche deux nombres dont la somme est $5$ et le produit $6$. Je teste les diviseurs de $6$ : $2$ et $3$ donnent $2+3=5$ ✓ et $2\times 3=6$ ✓. *Pourquoi tester les diviseurs du produit ?* Parce que les deux racines multipliées doivent redonner $P$.

Étape 3 : donc $x_1=2$, $x_2=3$ et $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$. Je vérifie en développant : $x^2-3x-2x+6 = x^2-5x+6$ ✓.

**Cas $\Delta=0$ — $x^2 - 6x + 9 = 0$.**

Étape 1 : $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36-36 = 0$. *Pourquoi calculer $\Delta$ ici ?* Parce que le résultat nul m'annonce une racine double : je n'aurai qu'UNE solution.

Étape 2 : racine double $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3$. *Pourquoi cette formule et pas les deux racines ?* Parce que $\sqrt{\Delta}=0$ : les deux formules $\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ deviennent identiques.

Étape 3 : factorisation $x^2-6x+9 = (x-3)^2$. Je reconnais d'ailleurs une identité remarquable $a^2-2ab+b^2$. La solution unique est $x=3$.

**Cas $\Delta<0$ — $x^2 + x + 1 = 0$.**

Étape 1 : $\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = 1-4 = -3 < 0$. *Pourquoi s'arrêter là ?* Parce qu'un discriminant négatif interdit toute racine réelle.

Étape 2 : conclusion — l'équation n'a **aucune solution réelle** et le trinôme ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$. Comme $a=1>0$, on sait même que $x^2+x+1>0$ pour tout $x$ réel.

1. **Quand tu vois $ax^2+bx+c=0$**, mets d'abord l'équation sous forme ordonnée (tout d'un côté, $=0$ de l'autre) et repère $a$, $b$, $c$.

2. **Si les coefficients sont petits et $a=1$**, essaie d'abord la somme-produit : cherche deux nombres de somme $-b$ et de produit $c$. Si tu les trouves, factorise directement, c'est plus rapide que $\Delta$.

3. **Si la somme-produit ne "tombe pas juste"**, calcule $\Delta = b^2-4ac$.

4. **Si $\Delta>0$**, applique $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ puis écris $a(x-x_1)(x-x_2)$.

5. **Si $\Delta=0$**, calcule $x_0=\frac{-b}{2a}$ et écris $a(x-x_0)^2$ (une seule solution).

6. **Si $\Delta<0$**, arrête-toi : pas de racine réelle, pas de factorisation dans $\mathbb{R}$, et le trinôme garde le signe de $a$.

7. **Quand on te donne déjà une racine $x_1$**, utilise $x_2=\frac{c}{a\,x_1}$ (produit) ou $x_2 = -\frac{b}{a}-x_1$ (somme) pour trouver l'autre sans tout recalculer.

- **Écrire $\Delta = b^2 - 4ac$ mais oublier le carré de $b$ négatif** : avec $b=-6$, on a $b^2 = 36$ et non $-36$. Un $b$ négatif redevient positif au carré.

- **Confondre les signes dans la factorisation** : les racines $2$ et $3$ donnent $(x-2)(x-3)$, PAS $(x+2)(x+3)$. On soustrait la racine, donc une racine positive donne un $-$ dans la parenthèse.

- **Croire que $\Delta=0$ signifie "pas de solution"** : au contraire, il y a une solution (double). C'est $\Delta<0$ qui donne "aucune solution réelle".

- **Oublier le facteur $a$ dans la forme factorisée** quand $a\neq 1$ : $2x^2-2x-4$ se factorise en $2(x+1)(x-2)$, pas $(x+1)(x-2)$. Vérifie toujours en développant que le coefficient de $x^2$ est bon.

- **Appliquer $S=-\frac{b}{a}$ mais écrire $S=\frac{b}{a}$** : la somme est l'OPPOSÉ de $\frac{b}{a}$. Oublier le signe moins donne des racines fausses.

- **Tenter une somme-produit alors que $\Delta<0$** : tu chercheras indéfiniment deux entiers qui n'existent pas. Si aucun couple ne marche vite, calcule $\Delta$ pour trancher.

- **Diviser par $x$ pour "simplifier"** une équation comme $x^2-5x=0$ : tu perds la solution $x=0$. Il faut factoriser $x(x-5)=0$ et garder les deux racines $0$ et $5$.