Les nombres premiers : les briques de tous les nombres

Imagine que tu as un certain nombre de billes et que tu veux les ranger en rectangles parfaits (des rangées bien égales, sans bille en trop).

Avec **12 billes**, tu peux faire plein de rectangles : 2 rangées de 6, 3 rangées de 4, 4 rangées de 3… Douze est « souple », il se laisse partager de plusieurs façons.

Avec **7 billes**, tu es coincé : la seule façon de faire un rectangle parfait, c'est 1 rangée de 7 (ou 7 rangées de 1). Impossible de les répartir autrement en parts égales. Sept est « rigide ».

Un **nombre premier**, c'est exactement ce genre de nombre rigide : on ne peut le partager en parts égales que de deux façons banales — tout d'un bloc, ou une par une. Ce sont les « briques de base » des nombres : impossible de les casser en plus petits morceaux multiplicatifs.

**Diviseur.** On dit que *d* est un diviseur d'un entier *n* si la division *n ÷ d* tombe juste, c'est-à-dire donne un quotient entier avec un **reste égal à 0**. Exemple : 3 est un diviseur de 12 car 12 ÷ 3 = 4 (reste 0). En revanche 5 n'est pas un diviseur de 12 car 12 ÷ 5 = 2 reste 2.

**Définition d'un nombre premier.** Un entier naturel *p* est **premier** s'il est **supérieur ou égal à 2** et s'il possède **exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même**.

Décortiquons chaque mot :

- « supérieur ou égal à 2 » : les nombres premiers commencent à 2. Ni 0 ni 1 ne sont premiers (on voit pourquoi plus bas).

- « exactement deux diviseurs » : ni plus, ni moins. Toujours 1 et *p*, et rien entre les deux.

Un entier ≥ 2 qui a **plus de deux diviseurs** est appelé **nombre composé** (ex. 12, 15, 100). Ces nombres peuvent s'écrire comme un produit de nombres plus petits (12 = 3 × 4).

**À quoi ça sert ?** Les nombres premiers sont les atomes de l'arithmétique : tout entier ≥ 2 s'écrit de façon unique comme un produit de nombres premiers (60 = 2 × 2 × 3 × 5). Cette « décomposition » sert à simplifier des fractions, trouver des PGCD et PPCM, et c'est aussi le cœur de la cryptographie qui protège les paiements sur internet (le chiffrement RSA repose sur la difficulté de retrouver les facteurs premiers d'un très grand nombre).

**Question : le nombre 13 est-il premier ? Et le nombre 21 ?**

*Étape 1 — Chercher tous les diviseurs de 13.*

Je teste les entiers à partir de 2. Pourquoi seulement jusqu'à un certain point ? Parce qu'il suffit de tester jusqu'à la racine carrée : √13 ≈ 3,6. Si aucun nombre jusqu'à 3 ne divise 13, aucun plus grand ne le fera (un diviseur plus grand aurait forcément un partenaire plus petit déjà testé).

- 13 ÷ 2 = 6,5 → reste ≠ 0, 2 ne divise pas.

- 13 ÷ 3 = 4,33… → reste ≠ 0, 3 ne divise pas.

*Étape 2 — Conclure pour 13.*

Aucun diviseur trouvé entre 2 et 3. Donc les seuls diviseurs de 13 sont **1 et 13** : exactement deux. **13 est premier.** ✅

*Étape 3 — Chercher les diviseurs de 21.*

√21 ≈ 4,6, je teste 2, 3, 4.

- 21 ÷ 2 = 10,5 → non.

- 21 ÷ 3 = 7 → **reste 0 !** J'ai trouvé un diviseur autre que 1 et 21.

*Étape 4 — Conclure pour 21.*

Pourquoi puis-je m'arrêter dès que j'en trouve un ? Parce que la définition exige *exactement* deux diviseurs ; dès qu'un troisième apparaît (ici 3, et donc aussi 7), c'est mort. 21 a les diviseurs 1, 3, 7, 21 → quatre diviseurs. **21 n'est pas premier : il est composé** (21 = 3 × 7). ❌

Quand on te demande « *n* est-il premier ? » :

1. **Vérifie que n ≥ 2.** Si n vaut 0 ou 1, la réponse est immédiatement « non premier ».

2. **Calcule (mentalement) une borne : la racine carrée de n.** Tu ne testeras les diviseurs que jusqu'à cette valeur.

3. **Teste la division par 2** : si n est pair (et différent de 2), il est composé, stop.

4. **Teste ensuite 3, puis 5, 7, 11…** (les nombres premiers suffisent) jusqu'à √n. Regarde à chaque fois si le **reste est 0**.

5. **Si UN diviseur tombe juste → composé.** Écris-le sous forme de produit (ex. n = 3 × …).

6. **Si aucun ne tombe juste jusqu'à √n → premier.** Ses seuls diviseurs sont 1 et n.

7. **Réflexe des petits premiers à connaître par cœur :** 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37.

- **Croire que 1 est premier.** Faux : 1 n'a qu'**un seul** diviseur (lui-même), pas deux. La définition exige deux diviseurs distincts, donc 1 est exclu. C'est aussi pour garder l'unicité de la décomposition en facteurs premiers qu'on l'écarte.

- **Oublier que 2 est premier.** 2 est le **seul nombre premier pair** : ses diviseurs sont 1 et 2. Beaucoup d'élèves le rayent parce qu'il est pair — erreur.

- **Confondre « premier » et « impair ».** 9 est impair mais **pas** premier (9 = 3 × 3). Et 2 est pair mais premier. Impair ≠ premier.

- **Croire que 51 ou 57 sont premiers.** Ils « ont l'air » premiers mais 51 = 3 × 17 et 57 = 3 × 19. Astuce : si la somme des chiffres est divisible par 3, le nombre l'est aussi (5+1 = 6, divisible par 3).

- **Tester les divisions au-delà de la racine carrée sans raison**, ou au contraire **s'arrêter trop tôt**. Il faut aller jusqu'à √n, pas plus, pas moins.

- **Dire « composé » sans vérifier le reste.** 13 ÷ 2 = 6,5 : le résultat non entier signifie reste ≠ 0, donc 2 n'est PAS un diviseur. Un diviseur, c'est reste 0, pas juste « ça se divise ».

- **Oublier 0.** 0 n'est pas premier : il est divisible par tous les entiers, donc il a une infinité de diviseurs.

Imagine que tu veux ranger un nombre de billes en rectangles parfaits (plusieurs lignes égales). Avec 12 billes, tu peux faire 2×6, 3×4, 4×3… plein de rectangles. Avec 7 billes, impossible : tu ne peux faire qu'une seule ligne de 7 (ou 7 lignes de 1). Un **nombre premier**, c'est un nombre qui refuse tous les rectangles sauf « une seule ligne » : il n'accepte que 1 et lui-même comme diviseurs.

Reconnaître un nombre premier, c'est donc chercher s'il existe un « petit rangement » possible. Et la bonne nouvelle : tu n'as pas besoin d'essayer tous les nombres, seulement quelques diviseurs bien choisis.

**Définition rigoureuse.** Un entier $n$ est **premier** s'il est supérieur ou égal à 2 et s'il admet exactement **deux** diviseurs : 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…

Attention : **1 n'est pas premier** (il n'a qu'un seul diviseur). **0 non plus.** Et **2 est le seul nombre premier pair**.

**À quoi servent les tests de divisibilité ?** Un nombre $n$ n'est **pas** premier (on dit *composé*) dès qu'on lui trouve un diviseur autre que 1 et $n$. Les critères de divisibilité permettent de repérer très vite ces diviseurs sans poser la division :

- **Divisible par 2** : le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 (il est pair).

- **Divisible par 3** : la **somme de ses chiffres** est un multiple de 3.

- **Divisible par 5** : il se termine par 0 ou 5.

- **Divisible par 7** : pas de critère simple → on divise directement.

- **Divisible par 11** : la différence entre la somme des chiffres de rang pair et de rang impair est multiple de 11.

**L'idée clé qui fait gagner du temps.** Si $n$ a un diviseur, alors il en a forcément un **inférieur ou égal à $\sqrt{n}$**. Pourquoi ? Parce qu'un diviseur va toujours par paire : si $n = a \times b$, l'un des deux est plus petit ou égal à $\sqrt{n}$. Donc **il suffit de tester les nombres premiers jusqu'à $\sqrt{n}$**. Si aucun ne divise $n$, alors $n$ est premier.

**Le nombre 97 est-il premier ?**

**Étape 1 — Calculer la limite $\sqrt{97}$.**

$\sqrt{97} \approx 9{,}8$. *Pourquoi ?* Parce qu'on ne testera que les diviseurs premiers jusqu'à 9,8 : donc **2, 3, 5, 7**. Inutile d'aller plus loin.

**Étape 2 — Test par 2.**

97 se termine par 7 → impair → **non divisible par 2**. *Pourquoi ce test d'abord ?* Il élimine la moitié des nombres en une seconde.

**Étape 3 — Test par 3.**

Somme des chiffres : $9 + 7 = 16$. 16 n'est pas un multiple de 3 → **non divisible par 3**. *Pourquoi la somme ?* Parce que le critère de 3 repose sur la somme des chiffres, pas sur le nombre entier.

**Étape 4 — Test par 5.**

97 ne finit ni par 0 ni par 5 → **non divisible par 5**.

**Étape 5 — Test par 7.**

On divise : $97 = 7 \times 13 + 6$. Il reste 6, donc **non divisible par 7**.

**Étape 6 — Conclure.**

Aucun premier jusqu'à $\sqrt{97}$ ne divise 97 → **97 est premier.** *Pourquoi peut-on s'arrêter ?* Car un éventuel diviseur plus grand que 9,8 imposerait un partenaire plus petit que 9,8, qu'on aurait déjà trouvé.

1. **Quand $n < 2$** → ce n'est pas premier (cas de 0 et 1). Stop.

2. **Quand $n = 2$** → c'est premier. Stop. (Seul pair premier.)

3. **Calcule $\sqrt{n}$** pour connaître la limite des tests.

4. **Teste 2** : si $n$ est pair (et différent de 2) → composé, stop.

5. **Teste 3** : additionne les chiffres ; si la somme est multiple de 3 → composé.

6. **Teste 5** : si $n$ finit par 0 ou 5 → composé.

7. **Teste les premiers suivants (7, 11, 13…) jusqu'à $\sqrt{n}$** par division. Si l'un divise → composé. Si aucun ne divise → **$n$ est premier**.

- **Croire que 1 est premier.** Non : il n'a qu'un seul diviseur, donc il est exclu par définition. De même 0 n'est pas premier.

- **Tester tous les nombres jusqu'à $n$.** Inutile et épuisant : on s'arrête à $\sqrt{n}$. Pour 97, on teste jusqu'à 9,8, pas jusqu'à 96.

- **Oublier de s'arrêter à la racine carrée** et déclarer un nombre premier trop tôt (par exemple ne tester que 2 et 3). Il faut aller jusqu'à $\sqrt{n}$.

- **Confondre le critère de 3 avec le nombre entier.** Pour 51, on ne regarde pas « 51 est impair donc premier » : on fait $5+1=6$, multiple de 3, donc $51 = 3 \times 17$ → **51 n'est pas premier** (piège classique).

- **Oublier 7.** Beaucoup s'arrêtent à 2, 3, 5. Or 49 passe ces trois tests mais $49 = 7 \times 7$ → composé. Sans tester 7, on se trompe.

- **Penser que tous les nombres impairs sont premiers.** 9, 15, 21, 25, 27… sont impairs mais composés.

Imagine que chaque nombre entier est une **construction en briques LEGO**. Les briques de base, qu'on ne peut plus casser en morceaux plus petits, ce sont les **nombres premiers** (2, 3, 5, 7, 11, 13…). Décomposer un nombre en facteurs premiers, c'est démonter complètement la construction pour retrouver le sac de briques élémentaires qui la composent.

Prends le nombre 12. Tu peux le construire ainsi : 12 = 2 × 2 × 3. Les briques sont deux « 2 » et un « 3 ». Impossible de descendre plus bas : 2 et 3 sont premiers, on ne peut plus les casser. Et le plus fort : **il n'existe qu'une seule façon** de démonter un nombre (à l'ordre des briques près). Le 12 donnera *toujours* 2 × 2 × 3, jamais autre chose. C'est ta signature secrète du nombre.

**Nombre premier** : un entier supérieur à 1 qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Exemples : 2, 3, 5, 7, 11. Le nombre 1 n'est PAS premier (il n'a qu'un seul diviseur). Le 2 est le seul nombre premier pair.

**Facteur** : un nombre qui en multiplie un autre. Dans 3 × 4, les facteurs sont 3 et 4.

**Décomposer en facteurs premiers** : écrire un entier sous la forme d'un **produit de nombres premiers uniquement**. Exemple : 60 = 2 × 2 × 3 × 5, qu'on note souvent avec des puissances : 60 = 2² × 3 × 5.

Ce résultat repose sur le **théorème fondamental de l'arithmétique** : tout entier supérieur à 1 se décompose de manière **unique** en produit de facteurs premiers (à l'ordre près). Cette unicité est ce qui rend la décomposition si utile.

**À quoi ça sert concrètement :**

- **Simplifier une fraction** : 60/45 → tu décomposes les deux et tu barres les facteurs communs.

- **Trouver le PGCD et le PPCM** de deux nombres sans tâtonner.

- **Rendre une racine carrée plus simple** : √72 se simplifie grâce à 72 = 2³ × 3².

- C'est aussi la base de la **cryptographie** (le chiffrement RSA de tes paiements en ligne repose sur la difficulté de décomposer de très grands nombres).

**Décomposons 360.** On utilise la méthode des divisions successives : on divise toujours par le plus petit nombre premier possible.

**Étape 1 — 360 est pair, je divise par 2.** 360 ÷ 2 = 180. *Pourquoi 2 ?* On commence toujours par le plus petit premier ; tant que le nombre est pair, 2 le divise.

**Étape 2 — 180 est encore pair.** 180 ÷ 2 = 90. *Pourquoi continuer avec 2 ?* On épuise complètement un facteur premier avant de passer au suivant.

**Étape 3 — 90 est pair.** 90 ÷ 2 = 45. Je note un troisième facteur 2.

**Étape 4 — 45 est impair, 2 ne marche plus. Je teste 3.** 45 ÷ 3 = 15. *Pourquoi 3 ?* 4+5 = 9, divisible par 3, donc 45 l'est aussi (critère de divisibilité par 3).

**Étape 5 — 15 est divisible par 3.** 15 ÷ 3 = 5. Deuxième facteur 3.

**Étape 6 — 5 est premier.** 5 ÷ 5 = 1. *Pourquoi s'arrêter ?* Quand on obtient 1, la décomposition est terminée.

**Résultat :** 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = **2³ × 3² × 5**.

**Vérification (indispensable) :** 2³ = 8, 3² = 9, 8 × 9 = 72, 72 × 5 = 360. ✓ On retombe sur le nombre de départ.

1. **Écris le nombre**, puis trace une barre verticale (à gauche le nombre, à droite les facteurs premiers).

2. **Teste 2 en premier** : tant que le nombre est pair, divise par 2 et note chaque 2.

3. **Quand 2 ne divise plus, passe à 3** : utilise le critère « somme des chiffres divisible par 3 ». Épuise tous les 3.

4. **Continue avec le premier suivant** : 5 (finit par 0 ou 5), puis 7, 11, 13… toujours le plus petit qui marche.

5. **Répète jusqu'à obtenir 1.** À ce moment tous les facteurs sont trouvés.

6. **Astuce d'arrêt** : si le nombre restant est plus petit que le carré du diviseur testé (par ex. tu testes 7 et il reste 13 < 49), alors ce nombre restant est premier : ajoute-le et termine.

7. **Réécris avec des puissances** et **vérifie** en refaisant le produit : tu dois retomber sur le nombre initial.

- **Écrire 1 dans la décomposition** : 12 = 1 × 2² × 3 est faux. 1 n'est pas premier et n'apporte rien ; on ne l'écrit jamais comme facteur.

- **S'arrêter trop tôt sur un facteur non premier** : écrire 36 = 4 × 9 et croire que c'est fini. 4 et 9 ne sont pas premiers ! Il faut continuer : 4 = 2² et 9 = 3², donc 36 = 2² × 3².

- **Oublier de répéter un facteur** : écrire 8 = 2 alors que 8 = 2 × 2 × 2 = 2³. Chaque division compte.

- **Confondre 2³ et 2 × 3** : 2³ = 8 (deux multiplié par lui-même trois fois), pas 6. La puissance indique *combien de fois* le facteur apparaît.

- **Croire que 51 ou 91 sont premiers** : ils ont l'air premiers mais 51 = 3 × 17 et 91 = 7 × 13. Toujours tester 3, 7, 11, 13 avant de conclure qu'un nombre est premier.

- **Sauter le 2 et diviser au hasard par un grand nombre** : on avance dans l'ordre croissant des premiers, sinon on rate des facteurs ou on complique les calculs.

Imagine que chaque nombre est un objet en LEGO. Les **nombres premiers** (2, 3, 5, 7, 11, 13…) sont les briques de base : on ne peut pas les fabriquer en assemblant des briques plus petites par multiplication. Tous les autres nombres, dits « composés », sont des constructions faites à partir de ces briques. Par exemple 12 = 2 × 2 × 3 : trois briques premières emboîtées.

Cette idée toute simple sert dans trois situations très concrètes :

- **Le PGCD** : trouver la plus grosse brique commune à deux nombres (utile pour partager équitablement).

- **Les fractions** : simplifier 18/24 en enlevant les briques communes en haut et en bas.

- **La cryptographie** : cacher un message en multipliant deux très gros nombres premiers, car les « décoller » ensuite est presque impossible.

**Décomposition en facteurs premiers.** Tout entier ≥ 2 s'écrit d'une seule et unique façon comme un produit de nombres premiers (théorème fondamental de l'arithmétique). Exemple : 60 = 2² × 3 × 5.

**PGCD (Plus Grand Commun Diviseur).** Le PGCD de deux nombres a et b est le plus grand entier qui divise à la fois a et b. Avec les décompositions, on prend chaque facteur premier commun **à la plus petite puissance** présente dans les deux.

**Simplifier une fraction.** Une fraction a/b est *irréductible* quand PGCD(a, b) = 1 (on dit que a et b sont *premiers entre eux*). Simplifier revient à diviser le numérateur (le nombre du haut) et le dénominateur (le nombre du bas) par leur PGCD.

**Cryptographie (RSA).** On choisit deux grands nombres premiers p et q, et on publie leur produit n = p × q. Multiplier est instantané ; mais retrouver p et q à partir de n seul (la *factorisation*) est extrêmement long pour un ordinateur quand n a des centaines de chiffres. Cette asymétrie « facile dans un sens, très dur dans l'autre » est ce qui protège les paiements bancaires et les messageries sur Internet.

À quoi ça sert : partager sans reste, écrire des fractions sous leur forme la plus courte, et sécuriser des communications. Une même notion (les premiers) résout trois problèmes très différents.

**Objectif : simplifier la fraction 84/120 jusqu'à sa forme irréductible.**

**Étape 1 — Décomposer 84.**

84 = 2 × 42 = 2 × 2 × 21 = 2 × 2 × 3 × 7, donc **84 = 2² × 3 × 7**.

*Pourquoi :* on casse le nombre en briques premières pour voir exactement de quoi il est fait.

**Étape 2 — Décomposer 120.**

120 = 2 × 60 = 2 × 2 × 30 = 2 × 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5, donc **120 = 2³ × 3 × 5**.

*Pourquoi :* même travail sur le dénominateur, pour pouvoir comparer les briques.

**Étape 3 — Chercher les facteurs communs, à la plus petite puissance.**

- Facteur 2 : présent en 2² (dans 84) et 2³ (dans 120) → on garde 2² (le plus petit exposant).

- Facteur 3 : présent 3¹ des deux côtés → on garde 3.

- Facteur 7 : seulement dans 84 → on ne le garde pas. Facteur 5 : seulement dans 120 → on ne le garde pas.

Donc **PGCD(84, 120) = 2² × 3 = 12**.

*Pourquoi :* le PGCD, c'est exactement le paquet de briques qu'on peut retirer en haut ET en bas.

**Étape 4 — Diviser numérateur et dénominateur par le PGCD.**

84 ÷ 12 = 7 et 120 ÷ 12 = 10. La fraction devient **7/10**.

*Pourquoi :* diviser le haut et le bas par le même nombre ne change pas la valeur de la fraction, mais la rend plus simple.

**Étape 5 — Vérifier que c'est irréductible.**

7 = 7 (premier) et 10 = 2 × 5. Aucun facteur commun → PGCD(7, 10) = 1. **7/10 est irréductible.** ✅

1. **Quand tu vois « simplifier une fraction »** → décompose le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers.

2. **Quand tu as les deux décompositions** → repère les facteurs premiers communs et prends chacun à sa **plus petite** puissance : leur produit est le PGCD.

3. **Quand tu as le PGCD** → divise le haut et le bas par ce PGCD ; la fraction obtenue est irréductible.

4. **Si les nombres sont gros et durs à décomposer** → utilise l'algorithme d'Euclide : PGCD(a, b) = PGCD(b, reste de a÷b), et recommence jusqu'à un reste de 0 ; le dernier reste non nul est le PGCD.

5. **Quand tu vois « premiers entre eux »** → vérifie simplement que PGCD = 1 (aucune brique commune).

6. **Quand on te parle de RSA / clé publique** → souviens-toi : on multiplie deux grands premiers (facile), la sécurité vient de l'impossibilité pratique de refaire le chemin inverse (factoriser).

- **Confondre PGCD et PPCM.** Pour simplifier une fraction, on utilise le PGCD (facteurs communs, plus petite puissance), PAS le PPCM (qui prend la plus grande puissance et sert à additionner des fractions). Se tromper donne un résultat absurde.

- **Prendre la plus GRANDE puissance pour le PGCD.** Avec 2² et 2³, on garde 2² (le plus petit), pas 2³. L'inverse gonfle faussement le PGCD.

- **Simplifier « en travers » ou par addition.** On ne peut diviser que par un facteur, jamais soustraire : 84/120 ne devient pas (84−12)/(120−12). Seule la division du haut et du bas par un même nombre est autorisée.

- **Oublier une étape et s'arrêter trop tôt.** Diviser 84/120 par 6 donne 14/20, qui n'est pas irréductible (14 et 20 partagent encore 2). Il faut diviser par le PGCD complet (12), ou recommencer jusqu'à PGCD = 1.

- **Croire que 1 est premier.** 1 n'est pas un nombre premier ; un premier a exactement deux diviseurs (1 et lui-même). Cela fausse les décompositions si on l'oublie.

- **Penser que RSA est « incassable par magie ».** Ce n'est pas magique : c'est juste que factoriser un très grand n prendrait des milliers d'années aux ordinateurs actuels. Avec de petits premiers (ex. n = 15 = 3 × 5), n'importe qui casse le code immédiatement — d'où l'usage de nombres à centaines de chiffres.